Als nächstes wollen wir uns damit beschäftigen, warum wir eigentlich über Städtigkeit sprechen.

Das kann man sich ja legitimermaßen fragen. Warum sollten wir uns für Städtigkeit interessieren?

Und die erste Anwendung, das haben wir beim letzten Mal gesehen,

Vertauschen von Liemes und Funktionsanwendung. Nämlich wenn f bestätigt ist, dann folgt daraus

Liemes n gegründetlich f von xn ist gleich f von dem Liemes n gegründetlich von xn.

Und der zweite sehr wichtige Themenblock warum stetige Funktionen irgendwie interessant sind

ist ganz grob sagen wir es mal Maxima und Minima von stetigen Funktionen. Typischweise

sind Maxima und Minima von irgendwelchen Funktionen sehr kompliziert aber stetige Funktionen haben

schöne Eigenschaften die wir uns anschauen würden und zweitens der sogenannte Zwischenwertsatz

der sehr fundamental ist um mit stetigen Funktionen zu arbeiten. Bevor wir das jetzt aber machen

können müssen wir zuerst über so ein paar topologische Begriffe nachdenken. Diese Begriffe

sind Abschluss einer Menge, innere Punkte einer Menge, das Innere einer Menge, offene

Mengen, abgeschlossene Mengen und der Rand einer Menge. Das sind jetzt sozusagen 1, 2, 3, 4, 5, 6 verschiedene Begriffe die hängen alle miteinander zusammen.

Und wir beginnen mal mit dem Abschluss von M. Also jetzt haben wir mal irgendeine Menge, das sind Teilmenge von R.

Das heißt die ist auf dem Zahlenstrahl. Machen wir halt mal so was und vielleicht noch ein paar Punkte dazu.

Vielleicht häuft sich das hier so ein bisschen. Und der Abschluss einer Menge ist jetzt sozusagen optisch das was passiert wenn man M nimmt und die alle Hinterbeigrenzen

dazunimmt. Aber das ist nicht ganz die korrekte Begründung dafür. Also formal ist der Abschluss einer Menge die Menge M selbst und dazu die Menge aller eigentlichen Häufungspunkte.

Also zum Beispiel das hier, das kommegiert jetzt hier, ich habe es jetzt nur visuell gemacht, aber das soll jetzt hier kommegieren gegen ein Punkt, gegen diesen hier.

Das heißt diesen Punkt, das ist ein Häufungspunkt der Menge, der muss dazukommen. Und außerdem können wir hier mit einer Folge dahin kommegieren und bekommen diesen linken Rand dazu.

Das heißt der Abschluss der Menge ist gleich M, vereinigt mit dieser roten Menge von Häufungspunkten.

Das ist sozusagen, man macht die Klappe zu bei dieser Menge. Man macht alles dazu was passieren kann wenn man sich in dieser Menge M hin und her bewegt und man irgendwelche Grenzwerte erreichen kann.

Dieser linke Rand hier zum Beispiel, der kann als Grenzwert einer Folge die komplett in M liegt entstehen und deswegen kommt sie in den Abschluss rein.

Wenn eine Menge schon gleich ihrem eigenen Abschluss ist, also wenn jeder eigentliche Häufungspunkt von M schon in M drin liegt, dann nennen wir M abgeschlossen.

Diese Menge hier ist nicht abgeschlossen, weil dieser Punkt und dieser Punkt, die sind in dem Abschluss von M, aber nicht in M selbst.

Also hieraus folgt natürlich sofort M ist immer eine Teilmenge von M Abschluss.

Das Abschluss ist immer was größeres, weil wir nehmen M und fügen was hinzu.

Das ist jetzt hier der Abschluss.

Machen wir nochmal wieder.

Die ist eigentlich ganz illustrativ.

Und nun fragen wir uns,

was sind innere punkte innere punkte sind solche punkte für die es ein epsilon

kreis gibt der eine komplette teilmenge von m ist also epsilon kreis was

bedeutet das ist hier das ist das nehmen wir jetzt mal b für ball b epsilon von x

das sind die punkte y in r so dass der abstand von y zu x kleiner

gleich epsilon ist also das sind das nennt man den epsilon kreis oder den

epsilon ball oder die epsilon sphäre meinetwegen weil in höheren dimensionen

ist es quasi die zweidimensionale oder dreidimensionale ball in r ist das

natürlich jetzt einfach nur ein intervall also in r und nur in r ist das

das gleiche wie das intervall x minus epsilon x plus epsilon also dieses symmetrische

intervall mit abweichung epsilon nach links und rechts und x das nennen wir

jetzt einfach den epsilon kreis in analogie zu höheren dimensionen und

solche punkte x für die diese aufblähung von dem punkt x ja man macht

sozusagen links noch minus epsilon dran und rechts noch epsilon dran also wenn es

ein epsilon gibt so dass diese ganze aufblähung des punktes also der epsilon

kreis um diesen um diesen punkt x wenn der komplett in m drin liegt dann ist x

ein innerer punkt und zum beispiel ist dieser punkt hier ein innerer punkt denn

wir können einfach hier so was drum rum legen

wenn epsilon klein genug wählen dann klappt es ja und das gehen wir mal ganz nah ran

auch wenn wir jetzt hier ganz nah rangehen können wir trotzdem hier einen epsilon kreis

außen rum legen also egal wie nah wir an diesen linken rand rangehen die die